REPRÉSENTATION DES IMAGINAIRES 
-qui prouve qu’elles passent toutes par le point d’intersection 
des droites 
($ — 1 ) 5 ? —H by -j- h := 0 
— bx —f- (a — 1 ) y —h* k —— 0 
à savoir 
_ h (a — 1) — bk _ 
C 
j k (a — 1) H- bh 
( y =- g — = 
Dans la suite, ce point (x t , y x ) jouera encore une fois un rôle 
important. 
Maintenant il est facile de prévoir que l’équation (11) pourra 
aussi prendre la forme 
(Ax -H By -f- h cos /a + k sin gf = Ç,[(x — x 0 )°- + (y — y 0 ) 2 ]. 
On en conclut que les droites imaginaires 
( 19 ) [ V W y ° + i & ~ X °) = 0 
( y— y 0 — i(x — x 0 ) = 0 , 
qui joignent le point (cc 0 , y 0 ) aux points circulaires imaginaires 
à l’infini du plan xy sont deux tangentes communes à toutes 
les paraboles (11). Ceci montre une fois de plus que ces para¬ 
boles ont le point (æ 0 , y 0 ) pour foyer commun. De plus, on re¬ 
marquera que les droites (19) sont les projections sur le plan 
xy des directrices de la congruence (1). 
La propriété des paraboloïdes (13) consistant en ce que leurs 
cylindres tangents parallèles à l’axe des z sont coupés par des 
plans parallèles au plan xy suivant des paraboles ayant un 
foyer commun, est susceptible d’une certaine généralisation. En 
effet, par des calculs analogues, mais plus longs, on démontre¬ 
rait qu'elle s’étend à tous les cônes tangents dont le centre 
commun se trouve en dehors du plan xy. 
Pour résumer l’étude qui vient d’être faite, on peut dire : Les 
droites faisant partie de la congruence (1) (leur nombre est dou¬ 
blement infini) se groupent suivant une infinité de paraboloïdes 
hyperboliques. Ces surfaces passent toutes par quatre droites 
dans Vespace dont deux sont réelles , tandis que les deux autres 
sont les directrices imaginaires de la congruence (1). Leur pro- 
