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il suffit d’y faire les substitutions 
A = a, B = b, 0=|- 1, D = 0, E = h, F — k, 
p — A —F C — cl — 1, <y — B -j— I) — b } 
ce qui fournit 
— (ci— 1) —{— bi . ( hb — Je (cl —1)— \-i\Jx(ci —1)— 
(a-lf-i-b- y ( a _i)* + &* 
= + y 0 — ix 0 
— (a—1 ) — bi 
(a-l)*+& r ’ 
%x-\ 
- ix 
hb—h ( a—\)—i \h(a — 
Vo 
(a - l) 2 -h b 2 
iXn- 
Par conséquent, les deux droites imaginaires communes à tous 
les paraboloïdes hyperboliques, sont précisément les directrices 
de la congruence (1). 
Ainsi, les surfaces composant le faisceau (13) passent toutes 
par une courbe gauche du 4 me ordre qui dégénère en quatre li¬ 
gnes droites, à savoir : 1° la droite kz — y — 0, hz — x — 0; 
2° la droite à l’infini du plan «e' = 0 ; 3° et 4° les directrices ima¬ 
ginaires de la congruence (1). 
De cette propriété des paraboloïdes (13) découle une propriété 
remarquable des paraboles (11). Ces dernières sont les contours 
apparents des dits paraboloïdes sur le plan xy . En effet, on sait 
qu’en désignant par a, b, c les cosinus directeurs de ses généra¬ 
trices, le cylindre tangent à la surface du second ordre 
u—f{x,y,0) = O 
est donné par la formule 
^ / ^U !^U J'U ^ 7 07 d*u 
2 ut a 2 —+&V—-h c-—+ 2a6-—+ 25c-—-- 
dx djp o z dxdy dydz 
du du du 
a- -ho— + c - 
2 caJ^-\ = 
dz dx 
et que la courbe suivant laquelle il touche la surface se trouve 
dans le plan 
du 7 du 
Cl —+ ^ — 
dx dy 
