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H. AMSTEIN 
En y considérant r comme variable, y comme constant, l’en¬ 
semble de ces droites forme une surface réglée dont l’équation 
s’obtient par l’élimination de r entre les deux dernières équa¬ 
tions. Il vient 
x — hz kz -4- cos y 
- T~ m -•—- , ou 
y — kz Bz -H sm y 
(13) (Ak-my z 2 4- B xz — Àyz -j- 
4- x sin y — y cos y -f- z (k cos y — h sin y) — 0. 
Cette équation représente un paraboloïde hyperbolique ou 
plutôt, si l’on envisage aussi y comme un paramètre variable, 
un système de paraboloïdes hyperboliques. En remplaçant À et 
B par leurs valeurs, elle peut se mettre sous la forme 
cos y | (kz — y) [(a — l) z ■+■ l~\ — bz (hz — x) j — 
— sin y | (kz — y) bz + [(a — 1)^+1] (hz — x) j =0. 
Cette équation prouve que toutes ces surfaces forment ce qu’on 
appelle un faisceau de surfaces. En effet, elles passent toutes 
par l’intersection des deux surfaces particulières 
( ( 7 ^ — y) Kf — 1) e 4- 1] — bz (hz - x) = 0 
( (kz — y) hz H- [(a -1)^ + 1] (hz — x) = 0. 
Or, on voit immédiatement que ces deux équations sont satisfaites 
par kz — y = 0, hz — x = 0. Ensuite, si on les rend homogènes 
en substituant à x, y , z les rapports — , —, —, elles sont véri- 
• 1 P P P 
fiées simultanément par p = 0, z — ü, ce qui veut dire que la 
droite à l’infini du plan z — 0 appartient à tous les parabo¬ 
loïdes. En troisième lieu, on peut considérer les équations (14) 
comme étant homogènes par rapport aux expressions kz — y et 
hz — x. Alors elles seront aussi satisfaites, si l’on annule leur 
déterminant, ce qui donne 
[(a — 1) b 4- l] 2 + 6V = Cz* + 2 (a — 1) z + 1 = 0, 
ou C = (ci — 1)" -f- h' 2, 
comme précédemment. De cette équation on tire 
-— (ci — 1) -E hi — (a — 1) hi 
8 t * 
C 
C 
