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H. AMSTEIN 
duit des deux faisceaux (3) et (4), on écrit x et y à la place de 
X et Y, et on élimine le paramètre y. entre ces deux équations. 
On trouve ainsi la circonférence 
(5) (x- 
bh—aJcY 
2 b 
ah+bk 'Ÿ_ l cr +& 2 ¥+¥ 
26 / 4 b* 4sin 2 v 
De cette équation on déduit facilement celle répondant au cas 
plus général où le centre du faisceau original n’est pas l'ori¬ 
gine, mais le point x = a, y — j3. Il suffit, en effet, de rem¬ 
placer dans (5) 
x par x — a 
y » y —13 
h » y — a 
h » 3 — |3 
où y = aoc — bfi h 
^ = bec aj3 —H h. 
Tandis qu’en général à chaque point du plan correspond un 
autre point du plan, il en est un qui se correspond à lui-même. 
Ce point remarquable e'st appelé le point double du plan. Ses 
coordonnées x 0 , y 0 se trouvent en posant dans les équations (2) 
X = x = Xq , Y = y — y 0 et en les résolvant par rapport à 
x 0 et y 0 . Il vient 
et 
U=- 
(6) 
\ 
L- 
(a — 1) x Q — by 0 + h — 0 
bx o + {a — 1) y 0 + k = 0 
7 ^ (a — 1) -j- bk 
(a — 1)* -f- b~ 
h (a — 1) — bh 
{a— l) 2 +b 2 
On voit que dans le cas, en étude, il existe un seul point 
double. Il s’ensuit qu’une seule des droites faisant partie de la 
congruence, est perpendiculaire au plan xy. Nécessairement le 
point double est situé sur toutes les circonférences engendrées 
par deux faisceaux correspondants. D’ailleurs il serait aisé de 
le vérifier par le calcul. Ce fait permet la solution des problèmes 
fondamentaux sur la ligne droite. 
Premier problème. D’une ligne droite imaginaire, on donne 
deux points imaginaires ; construire la ligne droite. 
