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H. AMSTEIN 
deux directrices de la congruence (a). C’est cette propriété seule 
qu’il importe de faire ressortir ici. 
Pour g = 0 et g = la surface se réduit au plan y = 0 en¬ 
gendré par des droites parallèles à l’axe des s ou par des droites 
se rencontrant au point x=y= 0, £==—, suivant qu’on suppose 
JJ. = 0 OU JJ. = TT. 
Lorsque la variable imaginaire r, = y -p est une fonction 
analytique de la variable imaginaire \ — a -p /3i 
*>=/ (?) 
et qu’on appelle original un tracé quelconque dans le plan infé¬ 
rieur, image la figure correspondante du plan supérieur, on sait 
qu’en général les éléments infiniment petits de l’image sont sem¬ 
blables aux éléments infiniment petits correspondants de l’ori¬ 
ginal. De plus, le rapport des dimensions linéaires de l’image à 
celles de l’original en un point considéré est donné par la valeur 
absolue de la dérivée ^| =/' (£), et la déviation de la dérivée 
mesure l’angle que fait l’élément linéaire considéré de l’image 
avec l’élément correspondant de l’original. Le cas particulier, à 
l’étude duquel est destinée la première partie de ce travail, à sa¬ 
voir le cas où/(£) est une fonction linéaire de £, est caractérisé 
par le fait qu’il existe entre l’image et l’original une similitude 
parfaite. Si donc le point inférieur parcourt par exemple un 
faisceau de rayons, le point supérieur parcourra un faisceau de 
rayons directement égal au premier, mais placé différemment ; à 
une circonférence correspondra une autre circonférence, etc. 
En projetant le plan supérieur orthogonalement sur le plan 
inférieur, on établit une correspondance déterminée entre les 
différents points d’un même plan. Par ce procédé, les deux 
faisceaux de rayons directement égaux deviennent projectifs, et 
leur produit, c’est-à-dire le lieu géométrique du point d’inter¬ 
section de deux rayons correspondants est, on le sait, une cir¬ 
conférence passant par les centres des deux faisceaux. Il ne 
sera pas inutile de démontrer ce théorème par le calcul. 
Soit la relation linéaire entre \ et y? mise sous la forme 
( 1 ) 
y] = (a —p bi ) \ -j- h -p Tvi 
