REPRÉSENTATION DES IMAGINAIRES 61 
Afin d’établir d’autres relations entre les deux plans, on posera 
f x + yi-= u cos (9 -h ^0 
( X + Y i = a sin (9 + ÿi). 
Ces valeurs satisfont identiquement à l’équation de la circonfé¬ 
rence, et l’introduction de la variable (cp -4- tyï) constitue une re¬ 
présentation des plans 'Ç — 0 et Ç= 1 sur un troisième plan, 
celui de la variable (9 Des équations ( 3 ), si l’on désigne 
par cos 7 ^ 4 ', sin 7 ^^ (cosinus et sinus hyperboliques de ^), respec¬ 
tivement les expressions 
l [e 
et 
il résulte 
x — a cos 9 cos 
y = — a sin 9 sin h\> 
( 4 ) 
_1 
2 
( 4 a) 
J» —J» 
e — e 
X = a sin 9 cos 
Y = a cos 9 sin h<\> 
En éliminant premièrement ^ entre les équations ( 4 ), puis entre 
les équations ( 4 a ), on trouve 
X 2 Y 2 
x 
a 2 cos 2 9 
_ y 
cr sin 3 9 
a 2 sin 2 9 
1 . 
a cos 9 
cos 
Interprétées dans le même plan, ces deux équations repré¬ 
sentent un seul système d’hyperboles homofocales, puisque 
9 = sin rr — 9^ . Si donc le point inférieur parcourt une 
des hyperboles, son image se meut en général sur une autre hy¬ 
perbole du système. Les deux hyperboles correspondantes se 
confondent dans les cas où cos 2 9 = sin 2 9. 
Eliminant en second lieu 9 entre les équations ( 4 ) et ( 4 a ), on 
obtient 
X 2 ' Y 2 
( 5 ) 
y 
cr cos 2 hty a* sin 2 hfy 
1 
( 5 «) 
cr cos 2 a 2 sin 2 
1 . 
Ce sont des ellipses homofocales telles que chaque ellipse se cor¬ 
respond à elle-même sans que pour cela les points correspon¬ 
dants coïncident. 
La construction de points correspondants n’offre aucune dif¬ 
ficulté. En effet, deux points correspondants P, P' étant donnés, 
on détermine d’abord les axes des ellipses passant par ces points, 
ce qui se fait facilement à l’aide des relations ar+X 2 = a 2 cos 2 Trp, 
