SOLUTIONS SINGULIÈRES 
Au lieu de borner la recherche des solutions singulières à l’applica¬ 
tion aveugle d’une formule, il paraît plus rationnel de chercher les 
caractères de leur existence dans la composition de l’équation différen¬ 
tielle, et de considérer ensuite les conditions analytiques comme des 
conséquences de cette composition. 
C’est sous ce point de vue qu’a été envisagée la théorie des solutions 
singulières qui fait l’objet de ce mémoire. Quelques-unes des proposi¬ 
tions sur lesquelles elle est fondée, ont été entrevues ou énoncées d’une 
manière plus ou moins explicite par certains géomètres, mais leur en¬ 
semble forme une théorie essentiellement différente de toutes celles qui 
ont été publiées sur cette matière; elle peut se résumer dans la proposi¬ 
tion suivante : 
Une des solutions singulières d’une équation différentielle d’un ordre 
quelconque s’obtient en égalant à zéro la partie irrationnelle de cette 
équation résolue par rapport au coefficient différentiel de l’ordre le plus 
élevé, ou de son intégrale complète résolue par rapport à sa constante 
arbitraire. 
Soit 
A*» 0» p) = 0 
une équation différentielle du premier ordre dans laquelle le coefficient 
différentiel p ou ~ entre à une puissance quelconque que nous ré¬ 
duirons d’abord à la seconde. En représentant par l et l' les deux va¬ 
leurs de p, tirées de cette équation, celle-ci sera identique avec 
[p — i) (p — ï) = o.(0 
/ et l' étant des fonctions déterminées de x et de y < Si l’on prend la déri¬ 
vée de (î ), c’est-à-dire, de 
A*» !h p) = 0 » 
par rapport àp , qu’on l’égale à zéro, et qu’on élimine ensuite p entre (I ) 
et cette dérivée, on trouvera pour résultat de l’élimination finie 
