DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 
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Gomme les courbes aod, a'o'd', a"o"d", etc., ne sont autre chose 
que les lieux géométriques des intégrales dans lesquelles on donne à la 
constante arbitraire toutes les valeurs possibles, il résulte de ce qui 
précède que 
Ç0 = 0 
ne peut pas être compris dans l’intégrale, quelque valeur que Ton 
donne à la constante, tandis que 
/j: — o 
en sera un cas particulier. Cette dernière équation sera donc une inté¬ 
grale particulière, tandis que la première formera une solution singu¬ 
lière , et la courbe qui y correspond est nommée enveloppe. 
Les considérations qui précèdent conduisent à plusieurs conséquen¬ 
ces. Si la fonction <p, placée sous le radical, ou un facteur de cette fonc¬ 
tion , forme une puissance in d’un polynôme T, en représentant l’indice 
du radical par n , l’équation 
T = 0 
sera une solution singulière ou une intégrale particulière selon que 
Ton aura 
m n ou m > n ; 
car la première hypothèse rentre évidemment dans le premier cas que 
n _ 
nous venons d’examiner; dans la seconde hypothèse, au lieu de l/T™, 
n _ 
on peut écrire T l/Ap™ - ", et le radical pourra être considéré comme s’é¬ 
vanouissant par le facteur T placé en dehors du radical. Cette propo¬ 
sition résulte d’ailleurs immédiatement de la remarque que, pour 
démontrer que 
cp = o 
forme une solution singulière, il a fallu supposer l’exposant de f plus 
petit que l’unité, ce qui exige que dans n soit plus petit que m. 
Comme la solution singulière ou la courbe enveloppe peut être 
