SOLUTIONS SINGULIÈRES 
considérée comme mie osculatrice des courbes représentées par l’in¬ 
tégrale , et que le degré d’osculation est exprimé par le nombre des 
coefficients différentiels égaux, il résulte de ce qu’on rient de voir sur 
la valeur générale de l’exposant de y dans l’expression de trouvée 
plus haut, qu’en représentant par « le degré d’osculation, on doit avoir 
d’où l’on tire 
ci — 1 <T — et u 
n 
et « ^> 
a. - 4 - 1 
« < 
n n 
n . 1 
n—\ 
«— 1 ’ 
c’est-à-dire que le degré d'osculation d’une enveloppe est représentée 
par le nombre entier placé entre les fractions et Ce nombre 
ne peut être que l’unité si n est un nombre entier, mais il pourra 
prendre toutes les valeurs si n est fractionnaire et supérieur à l’unité, 
ce qui a lieu toutes les fois que la fonction placée sous le radical forme 
une puissance exacte d’un degré moindre que l’indice du radical. 
En rapprochant cette propriété d'un théorème connu sur les oscu- 
latrices, on voit aussi que l’enveloppe coupera toutes les courbes ou 
ne fera que les toucher, selon que le nombre entier qui suit immédiate¬ 
ment pp sera un nombre impair ou un nombre pair. Le premier cas 
se présentera toujours lorsque la fonction placée sous le radical ne 
sera pas une puissance exacte d’un polynôme. 
Si l’on suppose n égal à l’unité, auquel cas la fonction y devient la 
fonction p , placée au dehors du radical, les deux limites et ^, 
entre lesquelles se trouve toujours placé le nombre qui indique le degré 
d’osculation, deviennent infinies, et l’enveloppe sera une osculatrice 
d’un ordre infini, c’est-à-dire, qu’elle se confondra avec l’une des 
courbes représentées par l’intégrale, ce qui s’accorde avec ce qu’on 
a vu plus haut. Ï1 est à remarquer que, dans ce dernier cas, c’est-à- 
dire, lorsque l’équation dérivée est satisfaite par un facteur du radical, 
la courbe représentée par 
f, = o 
