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DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 
c’est donc parmi les fonctions qui rendent ou ^ infinis dans l’é¬ 
quation 
f( x , y, p) = o, 
qu’il faut chercher les solutions singulières : mais il est évident que toute 
fonction qui rendra infinis ces coefficients différentiels, n’aura pas né¬ 
cessairement le double caractère que nous venons d’indiquer, puisque 
ces coefficients différentiels peuvent devenir infinis par d’autres fonc¬ 
tions que celles placées sous le radical. 
L’égalité à l’infini de la dérivée ~ ou c ~ avait été présentée par 
Laplace comme le véritable caractère des solutions singulières. La 
théorie précédente fait voir comment ce caractère est intimement lié à 
la forme des racines de l’équation dérivée proposée ; quant à sa signifi¬ 
cation géométrique, on la reconnaîtra sans peine, en observant que 
dp l 
dxj ô 
fait connaître la valeur de p qui, pour un même x = AP, rend ?/=PM 
un maximum, ce qui, en général, conduit à l’enveloppe oo'o"o '".... 
(Voir fig. 3.) 
Nous venons d’établir la théorie des solutions singulières d’une équa¬ 
tion dérivée en nous fondant uniquement sur la considération des ra¬ 
cines de cette équation; examinons maintenant les liens qui unissent 
les solutions singulières aux intégrales générales. 
p — l et p = r 
étant encore les racines de l’équation dérivée, 
/(*» V’ p) — °> 
si l’on désigne par 
F -4- C = 0 et F' + C = 0, 
les intégrales respectives de 
p — l et p = l ', 
