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SOLUTIONS SINGULIÈRES 
est une intégrale particulière ou une solution singulière suivant que A , 
combiné avec 0=0, restera une quantité variable ou se réduira à une 
constante; en effet, clans le premier cas, quelque valeur constante que 
l’on donne à G, on ne pourra jamais satisfaire à l’équation 
au moyen de 
C + A + B$ n -i- C<j> n -4- etc. = 0, 
$ = 0 , 
tandis que, dans le second cas, en faisant 
C = A, 
elle sera satisfaite. 
De la résulte ce théorème : Si une intégrale générale est telle , qu’en 
la résolvant par rapport à la constante arbitraire, on obtienne un 
radical ou plusieurs radicaux dans T expression de cette constante , 
la fonction placée sous l'un de ces radicaux , égalée à zéro, sera ou 
une intégrale particulière ou une solution singulière, selon que ce 
qui reste de la valeur de la constante , quand on a supprimé le ra¬ 
dical, sera une quantité constante ou une quantité variable. 
Il n’en sera plus de même lorsqu’on fait disparaître le radical au 
moyen du facteur n=0, placé hors de ce radical; en effet, en dévelop¬ 
pant F suivant les puissances ascendantes de H, comme on l’a développé 
plus haut, suivant les puissances ascendantes de O, on aura pour 
F + C = 0 
la série suivante : 
A' -4- B'n -4- C'm -4- etc. -4- C = 0 , 
dont la dérivée conduit à 
dM , du d B' 
—— - 4 - B —- -i- n —— -4- etc. 
dx dx dx 
d A' du dû' 
-y- -4- B' —- -4- H —— -4- etc. 
dy dy dy 
fl 
dx 
