SOLUTIONS SINGULIÈRES, ETC. 
égalé à zéro, fera disparaître le radical et réduira le reste à une 
constante, sera une intégrale particulière. 
Si la fonction placée sous le radical, formait une puissance exacte 
T" ! , et si m était plus grand que l’indice n du radical, on pourrait l’écrire 
de cette manière : 
r. _____ n _ 
l/ r m — Y l /y^—n , 
et en faisant T=0, le radical disparaîtra par un facteur placé hors du 
radical ; T = 0 sera donc, dans ce cas, une intégrale particulière, pourvu 
quelle rende A.' constant. 
Le caractère donné par Lapîace pour reconnaître la présence d une 
solution singulière, devient une conséquence fort simple de la théorie 
précédente; en effet, si Ton tire de 
F C = 0 
la valeur de ou de ~, il est évident que lorsque F renfermera un 
radical, la différenciation le fera descendre au dénominateur, et 
comme la solution singulière rend nul le radical, elle fera prendre à 
^ et ^ une valeur infinie. Il est à remarquer, du reste, que rendre 
infini, c’est déterminer la valeur de C, qui, pour un même # = AP, 
rend y— PM maximum ou minimum dans l’ensemble des courbes aod, 
a'o'd', a"o"d", etc, représentées par 
F H- C = 0, 
ce qui caractérise l’enveloppe. 
Les mêmes considérations , reproduites presque littéralement , 
conduisent à la théorie des solutions singulières dans les équations dif¬ 
férentielles d’un ordre supérieur, ainsi que dans les équations aux 
différentielles partielles; mais nous nous bornerons, pour le moment, 
à indiquer cette application de la théorie exposée dans ce mémoire. 
FIN. 
