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SUR QUELQUES POINTS 
sèment l’objet de la géométrie élémentaire, et comme celle-ci sert d’in¬ 
troduction à l’étude des surfaces et des corps de toute configuration, 
les rapports qui existent entre les angles et les proportions des lignes 
sont dignes de toute l’attention des géomètres. 
11. Ces relations, en effet, sont si étroites, que la géométrie tout en¬ 
tière repose à volonté sur l’un ou l’autre des deux principes suivants : 
1° La somme des trois angles d’un triangle équivaut à deux angles 
droits ; 
2° Si sur deux côtés d’un triangle on prend deux points tels que leur 
distance respective au sommet commun soit dans un même rapport 
avec les deux côtés correspondants, la droite qui joint ces deux points, 
sera dans ce meme rapport avec le troisième coté. 
Or chacun sait que l’un de ces théorèmes emporte l’autre, toutefois 
en employant de certaines conditions d’infini pour démontrer l’un ou 
l’autre apriori, ou pour passer du premier au second ; car pour passer 
du second au premier il n’y a aucune difficulté, ce qui prouve que 
celui-ci est moins général. 
Cependant je ne connais parmi les géomètres que Legendre qui ait 
essayé de démontrer a priori le 2 e théorème, et d’en faire le point de 
départ de sa géométrie h Mais quoique sa démonstration soit de toute 
évidence, elle ne porte pas le caractère convenable à des éléments, 
et fournit matière à objection. 
12. Je tâcherai dans ce mémoire de prouver non-seulement la pos¬ 
sibilité d’ouvrir un cours de géométrie par l’une ou l’autre de ces deux 
voies, mais la nécessité de traiter cette belle science par des considé¬ 
rations moins étroites et des moyens plus larges qu’on ne Ta fait jus¬ 
qu’à présent. Il me paraît, plus que jamais, que les raisonnements en 
deviendront plus simples, plus courts et plus clairs, par l’introduction 
franche de l’infini dans la démonstration des principes. 
Géométrie, 14 e édition, page 280. Note II e . Bruxelles, 1852. 
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