DE MÉTAPHYSIQUE GÉOMÉTRIQUE. 15 
Or quel que soit S par rapport à A, 2 A -j- S, ne peut être plus petit 
que 2A, donc : 
La somme des trois anqles d’un triangle ABC , n est pas plus petite 
que deux angles droits. 
Qu’on me permette en passant, de dire que ce théorème, démontré 
ici d’une façon aussi simple, est celui devant lequel Legendre a con¬ 
stamment échoué : il en convient lui-même dans le mémoire précité 
(page 371), où il accuse ses efforts inutiles pour y arriver, et on peut 
déjà voir que cette impossibilité ne dérivait que d’une définition 
vicieuse; chose que je tiens à cœur de prouver. 
Revenons maintenant à la partie du plan située au-dessous de la 
ligne AB, il est visible qu’elle se compose : 
1° de l’angle opposé par le sommet à l’angle A, ou de son égal A ; 
2° de l’angle opposé par le sommet à l’angle B, ou de son égal B; 
3° de l’angle Z>BB'', ou de son égal C (par construction); 
4° du bandeau infini G" A B/6, que j’appellerai U. 
De là résulte l’équivalence suivante : 
ou bien : 
A-+-B-4-G + U = 2a, 
A + B + C = ’2i — ü. 
Or, quelle que soit la valeur de U par rapport à A, il est certain que 
2 A — U n’est jamais plus grand que A, d’où il résulte que : 
La somme des trois angles d un triangle ABC n est jamais plus 
grande que deux angles droits. 
Mais elle ne peut être non plus, comme on l’a démontré, plus petite; 
donc : 
24. La somme des trois angles du triangle ABC est égale à deux 
angles droits , ou bien , 
A+B + C = 2a. 
