DE MÉTAPHYSIQUE GÉOMÉTRIQUE. 
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prolongeons ses côtés à l’infini comme on le voit dans la figure, et 
nous formerons des angles a, /3, y, â, e, extérieurs au polygone et en 
nombre égal à celui de ses côtés. 
Or, il est visible qu’en ajoutant à la somme de tous ces angles la 
surface S du polygone, on aura la surface du plan, ce qui équivaut à 
écrire : 
ou 
a /S y J' e ^ S 
4a 4a 4a 4a 4 a 4 a 
Mais si l’on s’occupe seulement des angles et de leurs surfaces homo¬ 
gènes, on a y = o , vis-à-vis de 1 , et par suite 
a - 4- /3 -t- y -f- cT -f- £ = 4 a. 
Ce qui démontre a 'priori le beau théorème connu : la somme des 
angles extérieurs d’un polygone est toujours égale à quatre angles 
droits. 
Ce théorème se démontre du reste d’une façon peut-être plus claire 
par la marche suivante; mais j’ai cru devoir le présenter dans toute 
sa simplicité, pour prouver l’avantage d’employer à découvert dans la 
géométrie les considérations d infini. J’ai donné la démonstration pré¬ 
cédente dans le mémoire dont j’ai déjà fait mention; voici celle qui 
peut la remplacer dans les éléments, et qui, sans être aussi directe, me 
semble à i’abri de toute contestation. 
29. Soit donc encore le polygone AEC DE ( fig . 5), avec ses an¬ 
gles extérieurs «, /S, ê, â, £, 
on a évidemment, en appelant encore s sa surface : 
« + 3 + ?'+J'+f = 4A.— S. (a) 
D’où il résulte de suite que : la somme des angles extérieurs du po¬ 
lygone ne peut dépasser quatre angles droits. 
