DE MÉTAPHYSIQUE GÉOMÉTRIQUE. 
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Or, m étant ici entièrement arbitraire, une pareille condition ne peut 
exister qu’autant que ™ soit nul, ou, en d’autres termes, le rapport 
entre U et2A, c’est-à-dire entre un quelconque des bandeaux et la 
moitié du plan, doit être considéré comme nul, dans toute équation 
où les quantités employées sont de l’espèce du plan ou des angles. 
32. Quand on introduit ce principe en géométrie, on obtient direc¬ 
tement la démonstration du postulatum, d’Euclide, qui a fait l’objet de 
tant de recherches. 
On conçoit d’abord qu’il est facile de prouver que l’espace BAA'B', 
compris entre deux droites AB , A'B' et une troisième AA' qui fait des 
angles égaux avec les premières, peut-être rendu égal à un autre es¬ 
pace Baa'B' du genre U, et par conséquent soumis à la condition 
~ < — ou = o. Je ne m’arrêterai pas à faire cette démonstration, qui 
se trouve dans tous les éléments, je me bornerai à examiner ce qui se 
passe lorsqu’un tel système de lignes est coupé ( fig . 7) par une ligne 
droite quelconque aah 
Or, dans ce cas il est visible que la moitié du plan au-dessus et à 
droite de la ligne <m! est occupée : 
1° Par la bande B«a' = B' = U" ; 
2° Par l’angle externe ma. B = E ; 
3° Par l’angle externe mVB' = E' ; 
ou bien en d’autres termes que l’on a : 
E + E' -t- U' = 2 a 
Il n’est pas difficile maintenant de déduire de cette équation, en 
raisonnant comme au n° 28 ou comme au n° 29, celle-ci, qui est fon¬ 
damentale : 
E -+- E' = 2a ou E = 2a — E', 
et qui est l’expression analytique du théorème suivant : 
Tom. XVII. 
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