DE MÉTAPHYSIQUE GÉOMÉTRIQUE. 
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34. Ce théorème cle Bertrand, et celui de la somme constante des 
trois angles d’un triangle sont identiques, et l’un conduit naturelle¬ 
ment à l’autre. La vraie difficulté consiste donc à démontrer l’un d’eux 
a priori. Il semble que Legendre, toujours éloigné d’adopter les 
considérations d’infini qui paraissent dans le théorème de Bertrand, 
a cru éluder la question de l’infini, en démontrant d’abord le théo¬ 
rème de la constance de la somme des angles du triangle , puis il pro¬ 
cède ainsi qu’il suit pour démontrer l’autre : 
35. Soient AB et À/B' deux perpendiculaires à la ligne ÀA (fig. 8), 
prenons ka = AA'; il est visible que l’angle AaA' = AA'a, et que 
d’un autre côté l’angle B'A'a = B ac, ou son égal AA 'a' , de là il ré¬ 
sulte que la ligne A 'a, coupe en deux également l’angle AA'B. 
Prenons maintenant cici' = a' A' et menons a 'Ah il est de même clair 
que la droite a' A' coupe en deux également l’angle aA'B', en sorte que 
«'A'!!' = | AA'B'. 
Faisons une troisième construction de ce genre, et nous aurons une 
droite a" A' qui donnera 
a" A'B' = i. AA'B'. 
En sorte qu’en continuant ainsi on finira toujours par trouver une 
droite «A' telle que l’angle «A'B' soit égal à , et par conséquent 
plus petit que tout angle donné, n étant arbitraire. 
Quelle que soit donc la droite A'X menée par A' dans l’angle AA'B', 
il y aura toujours moyen de trouver sur AB un point tel que l’angle 
X'A'B' contienne la droite A'«, donc A'X coupe la ligne AB. 
36. Cette manière de démontrer le poslulatum d’Euclide, outre sa 
longueur et la difficulté de la démonstration préalable, n’est guère 
comparable à la méthode simple de Bertrand, et j’ose presque le dire, 
à aucune de celles que j’ai données plus haut. On peut voir ce que 
l’illustre géomètre a perdu en repoussant l’emploi des considérations 
d’infini, et c’est principalement cela qui excuse les efforts tentés pour 
les ramener dans le domaine de la géométrie. 
