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SUR QUELQUES POINTS 
que la variée limite de a ou a.y.' aura pour expression 
Or, comme 1 + ^ ne peut jamais être o, il en résulte que a.y doit 
être infini quand c et h le deviennent, et qu’ainsi les deux lignes AG 
et AB ne peuvent jamais être asymptotes; propriété qu’il est assez 
difficile de démontrer plus simplement, et qui renferme en soi une 
nouvelle démonstration de la théorie des parallèles tirée seulement 
de la définition de la ligne droite. 
57. Puisque la droite a y' est infinie et de la forme y' x a, il s’agit- 
maintenant de chercher y'. Or , je dis que y' est égal à y. 
En effet, il ne peut être plus grand ou plus petit que y d’une 
quantité finie <J, quelque grande qu’elle soit, puisque cela revient à 
supposer que y=td est plus grand ou plus petit que y, ce qui est ab¬ 
surde. 11 faut donc supposer y! = k.y, h étant plus grand ou plus petit 
que l’unité, et par conséquent de la forme l±& Admettons pour un 
moment cette hypothèse. 
Si nous considérons ce qui se passe dans le triangle varié, nous 
voyons qu’après avoir passé par divers degrés de grandeur, toutes ses 
parties et lui-même deviennent infinies à la fois ; mais on sent qu’il 
est absurde d’admettre qu’une des variées quelle qu’elle soit devienne 
infinie pendant que les autres seraient encore finies. 
Cela posé, si la variée limite de a était (i -fd.) y.a, par exemple, elle 
aurait dû passer avant d’arriver à cette valeur par la valeur y.a. (54) 
Or, les variées de b et de c ne deviennent variées limites que lorsque 
a le devient, et réciproquement, et pourtant la conséquence de notre 
kyPP°tEA se serait que a serait devenue y.a , c’est-à-dire infinie avant 
que les variées à et c ne le fussent, ou en d’autres termes, le côté a 
serait arrivé à son état de variée limite que le triangle n’y serait point 
encore, ce qui est absurde. La même chose aurait lieu, mais en sens 
contraire, si l’on supposait k = i — 
