G. Cesàro. — Sur la forme de Valvéole de l’abeille. 
du problème est la position du point S, dont on désigne par x 
la distance au plan du triangle a[3y. 
Il est facile de voir que la surface de l’alvéole se compose de 
deux parties variant en sens inverse avec x : lorsque S s’ap¬ 
proche du plan apy, le triangle Say va en diminuant, vu qu’il 
se rapproche de sa projection, et il en est de même du losange 
SaTy ; donc la surface de l’ensemble des trois faces de clôture 
diminue lorsque x diminue; au contraire, comme à l’abaisse¬ 
ment du point S correspond un relèvement du point T, le 
trapèze aADT, dont la hauteur a (*) et une base Aa restent 
invariables, voit sa seconde base DT, et, par conséquent, sa 
surface augmenter, de sorte que la surface de l’ensemble des 
six trapèzes latéraux va en augmentant lorsque x diminue. On 
conçoit par là que pour une certaine position du point S la 
surface de l’alvéole passe par un minimum. En exprimant cette 
surface en fonction de x , on obtient 
Surf. p| Sa\S ^'x 2 Ha (2A — x) (**) 
= Ha f \/H x 2 — —x ) -f- Gah. (1) 
En cherchant le minimum de la quantité entre parenthèses, 
on trouve qu’il correspond à 
a\± 
c’est-à-dire que le sommet S doit être distant du plan du 
triangle a(3y d’une longueur égale au quart de la diagonale du 
carré construit sur le côté de l’hexagone de base. 
* 
* * 
(*) Nous désignons par a le côté de l’hexagone de base. 
(**) Le plan du triangle équilatéral NTL coupe sur Taxe de l’alvéole, à partir du 
point 0, une distance égale à x; en effet, les droites Na et {3S étant égales et paral¬ 
lèles, leurs projections sur Taxe de l’alvéole sont égales entre elles. 
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