A. Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
Des relations (4) et (5), on déduit, par addition et soustrac¬ 
tion, 
(6) , f*?+ 1 f*I = 2U + 2V + ~, 
i l w 
(7) = U + m. 
L’égalité (6) donne, à cause de (3), 
(8) £ *1=0 + V. 
Donc, pour que l’égalité (3) ait lieu, il faut que les solutions 
z lf z p soient liées par une relation de la forme (8). Si 
cette condition est vérifiée, nous dirons, avec M. Guichard (*), 
que les solutions z lf z 2 , e .., z p sont quadratiques. 
3. Nous allons démontrer que la condition (8) est suffisante. 
Les solutions z if si elles existent, satisfont aux équations (1), 
(2), (7) et à la relation 
( 9 ) £*^ 0 +v+ç; 
7 W 
conséquence des égalités (3) et (8). 
Si l’on pose 
( 10 ) tàz'i = Wi, 
les équations (l), (2), (7) s’écrivent 
! d tf 3 co 3 
3 u 3 u du 
3 IL . 3u) 3% 
dv Zt dv w dv 
(12) U + i«>. 
(*) Guichard, Sur les systèmes orthogonaux et les systèmes cycliques. (Annales 
SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, 1903.) 
194 
