A. Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
Nous l’écrirons, en abrégé, 
4...D 
J] 
h 
'i 
K 
étant posé 
( 20 ) 
aHi 
aH* 
dV 
( 21 ) 
U' 
2(2U - m)(V — U + 
v ' 
^“ = 2(2V + ro)(V —U +m) _ 
i _ a?» i „ a*? 
2U — m**a« V — U + m Zh au ’ 
1 _ a* ft i _ a*i 
vT+m Zi dv + y — M + m Zh du 
Le système (19) est complètement intégrable. Si (H 1? H 2 ,..., 
H p ) est une solution de ce système, 1° les fonctions %i définies 
par les égalités (14) satisfont aux relations (1), (2), (7), w étant 
donnée par Légalité (13) ; 2° w satisfait à Léquation (e). 
On établit le 1° comme il suit : En dérivant l’équation (13) 
par rapport à u , puis par rapport à v, et en tenant compte du 
système (19), on obtient les égalités (17) et (18). Or, c’est en 
portant dans les égalités (11) les valeurs (13), (17), (18) de w, 
—, ^ qu’on a obtenu le système (19); par suite, en opérant 
en sens inverse du système (19) et des égalités (13), (17), (18), 
on déduira les égalités (11), et de celles-ci, en tenant compte 
de (10), conséquence de (13) et de (14), on remontera aux 
égalités (1) et (2). 
On obtiendra Légalité (7) en portant dans (13) la valeur (10) 
de H*. 
Pour établir le 2°, égalons les deux valeurs de tirées des 
équations (11); il viendra 
a 2 w d% 
dudv dudv 
W Zi 
196 
