à solutions quadratiques. 
z i étant solution de l’équation (e), le second membre de cette 
égalité est égal à k; il en est donc de même du premier, c. q. f. d. 
Le système (19) admet l’intégrale 
(22) J H * —(U + V)«»= C, 
qui peut s’écrire, en remplaçant w par sa valeur (13), 
(23) 
i 
u + v 
(Y — U + mf 
En remplaçant, dans (22), les H 2 par leurs valeurs (10), on 
obtient l’égalité (9). La réciproque est donc démontrée. 
Si l’on veut que les z { satisfassent à la relation 
(24) J= U + V, 
i 
déduite de (9) en y faisant C = 0, il faudra choisir les valeurs 
des H 2 , pour un système de valeurs u Q , v 0 de u, v , de manière 
que la constante qui figure dans l’intégrale (23) soit nulle. 
M. Bianchi (*) a établi que la condition (8) est nécessaire et 
l..p 
suffisante, dans le cas où l’on a C = 0, 2] 2 ? t 4 0. 
4. Lorsque C = 0, la relation (23) est homogène par rap¬ 
port aux H 2 ; d’autre part, l’expression (14) des % { est homogène 
et de degré zéro par rapport aux mêmes quantités. Il suit de là 
que, m étant donné, les solutions z’i, z 2 ,..., z p dépendent de 
p — 2 constantes arbitraires. Nous désignerons par T m une 
quelconque des oo p ~ 2 transformations de Moutard correspon¬ 
dantes. 
(*) Bianchi, Sulle varietà a tre dimensiom deformabili entro lo spazio euclideo a 
quattro dimensioni. (Memorie dellà Societa italiana delle scienze, 3 e série, 
tome XIII; 1903.) 
197 
