A . Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
5. Reprenons le cas où G est ^0. ^ c est une solution de 
l’équation (e r ). Si l’on pose 
, V—c 
(25) V.--’ 
(j) 
l’équation (9) devient 
(26) 'fz? + ^ = U + V. 
i 
L’équation ( e') admet donc p - 1- 1 solutions quadratiques. 
Dans le cas présent, les il z ne sont assujetties à aucune con¬ 
dition supplémentaire. D’autre part, l’expression (14) des z' it est 
homogène et de degré zéro par rapport à ces quantités et il en 
est de même de celle, (25), de z p + 1 ; pour le reconnaître, il suf¬ 
fit de remplacer dans (25) G par sa valeur (23) et w par sa 
valeur (13). Par suite, les solutions z[, z 2t . .., z p , z p+1 dépendent 
de p — 1 constantes arbitraires. Nous désignerons par 0 m une 
quelconque des oo^" 1 transformations de Moutard correspon¬ 
dantes (*). 
6. Soient (H®,..., H®), (H®,,.., H®) deux solutions du 
système (19). La formule (13) donne les expressions des solu¬ 
tions correspondantes w 1 , w 2 de l’équation (e) : 
(27) 
1 
w. 
V — U + m 
£ 
1 
i...p 
(l)n = 
V — U + m 
£**H 
( 2 ) 
et l’on a, en vertu de (22), 
(28) 
JW-(D + V)»«-ooiut, 
y 
i 
(Hf ) 2 — 
(U + V)wl == const. 
(*) Les transformations sont les transformations de l’équation ( 0 ), celle-ci 
étant considérée comme admettant les jo + 1 solutions quadratiques % 2 ,..., 
%>* 0. 
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