A . Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
L’expression (51) fie Z y devient, par suite, 
(64) Z ; = % +--[*-#]. 
U + V— | 
j 
Les équations (e ± ),.(e 2 ) correspondent respectivement à l’équa- 
tion (e) dans des transformations T mi , T m2 et l’on a 
(68) 
+ 
LJ 
1 
> 
11 
3W» 
XzjZf = \-\] + m z , 
3 
i...p 
l...p 
(66) 
X =i+ v, 
3 
X(*TY - u + v. 
j 
Démontrons que l’équation (E) correspond respectivement 
aux équations (e^, (e 2 ) dans des transformations T ms , T mi . A 
cet effet, il suffira d’établir que l’on a 
(67) J Z $ = V _ U + n h , J Zjzf> ^V - U + m,. 
i 
i...p 
Or, si Ton multiplie l’équation (64) par il vient 
i...p 
i...p 
i...p 
i...p 
X Wr X 
ü w = X + ( m ‘— 
U + V 
l...p 
X 
( 2 ) 
et cette égalité se réduit à la première des égalités (67), si l’on 
tient compte de la première des égalités (65) et de la première 
des égalités (66). 
On établira de même la deuxième des égalités (67). 
Ce théorème, dit théorème de permutabilité , a été démontré 
i...p 
par M. Bianchi ( loc. cit.) dans le cas où est ^ 0. 
/ 
Si ra 2 = m i , la formule (64) donne 
Zj = Zj. 
208 
