A . Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
VI. 
27. Nous allons déterminer toutes les équations de Moutard 
00 
d 2 z 
dudv 
= kz 
qui possèdent deux solutions z lf z 2 quadratiques, c’est-à-dire 
telles que l’on ait 
(122) * 2 - 1 - 4 = U + V, 
U désignant une fonction de u, et V une fonction de v. 
Cette égalité peut être remplacée par les suivantes : 
(123) 
z i =Vu + V COS T, 
z 2 = Vu + V sin t. 
Pour que z 1 et 2 2 satisfassent à l’équation (e), il faut et il 
suffit que Ton ait 
(124) 
0T 1 U'V' 
du dv 4 (U + V) 2 ’ 
(125) 
3 z t dz v' ax u r 
d^dv + du 2 (U + V) dv 2(U + V) 
Distinguons trois cas. 
Premier cas : La somme zf + z| est constante . On peut alors 
poser U = V = y. Les formules (123), (124) deviennent 
(126) 
(127) 
( Zi = COS T, 
( z 2 = sin t, 
^ _ dT d t 
du dv 
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