A . Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
U w désignant une fonction arbitraire. C’est au moyen de cette 
fonction et de ses dérivées des n premiers ordres que seront 
exprimées finalement les n intégrales (204). 
Si l’on prend pour équation (e) l’équation (148), t est une 
solution quelconque de l'équation (149) et s’exprime au moyen 
d’intégrales. En vertu de (178), il en est de même de 
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IX. 
37 . Indiquons quatre applications de la formule (200) à la 
géométrie. 
Nous prendrons pour n, dans la première, un nombre ^ 3 
et dans les trois autres, comme dans le cas général (n° 31), un 
nombre ^ 2. 
I. Posons v = 1 et annulons tous les T ik sauf r 23 . La for¬ 
mule (200) donnera 
zf —zf —1~ (\/— c 4 0 d ) -j- 2 r23H2Q3 = u -f- v 
ou 
Zî + Z| -f Z| — Z 4 Z 5 =• U + V, 
étant posé 
Z3 — V* fi y = q 2 , = — 2r 23 Q 3 . 
Les quantités Z 4 , Z 2 , ..., Z 5 satisfont à l’équation (E) ; donc 
la sphère définie, en coordonnées cartésiennes rectangulaires 
x, y , z, par l’équation 
Z 4 (x 2 + V 2 + z 2 ) + ^ Z a æ + 2 Z 2 y -j- 2 Z 3 z + Z 5 = 0, 
engendre une congruence qui est cyclique d’une infinité de 
manières (*). 
(*) Au sujet des congruences de sphères cycliques, le lecteur pourra consulter le 
mémoire de M. Guichard, cité plus haut, et le travail de l’auteur inséré dans ce 
Bulletin , année 1919, p. 339. 
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