L. Godeaux. — Sur une surface du quatrième ordre , etc. 
Il est d’ailleurs bien connu qu’une surface du quatrième ordre 
ne contenant que des points doubles coniques est de genres un 
(p.=p,=- = p 4 = - = i, P (i) = i) n. 
1. — Soit d> une surface d’ordre quatre, possédant douze 
points doubles coniques (et dépourvue d’autres points multiples) 
distribués par couples sur les arêtes d’un tétraèdre que nous 
prendrons comme tétraèdre de référence. Désignons par P ik , P' ik 
les points situés sur l’arête d équations x i = x k = 0, ik étant 
une combinaison des nombres !, 2, 3, 4. 
Nous avons établi que, pour que soit l’image d’une invoîu- 
tion d’ordre quatre et de deuxième espèce (c’est-à-dire engendrée 
par un groupe trirectangle de transformations birationnelles 
involutives) appartenant à une surface F de genres un, il faut et 
il suffît que l’on puisse partager les douze points doubles en 
deux groupes de huit (ayant quatre points communs) tels qu’il 
y ait oo 1 quadriques passant par les points de chacun des 
groupes et touchant d> en chaque point d’intersection. 
Soient P 12 , PJ 2 , P 34 , P 34 , P 13 , PJ 3 , P 24 , P 24 les points formant 
le premier groupe, (P 4 ), P 12 , P 12 , P 34 , P^, P 14 , P' u , P 23 , P 23 les 
points formant le second groupe (P 2 ). 
Nous avons montré autrefois que si, par huit points doubles 
coniques d’une surface du quatrième ordre, il passe oo 1 qua¬ 
driques touchant cette surface en chaque point d’intersection, ces 
huit points sont associés (c’est-à-dire communs aux quadriques 
d’un réseau) et la surface du quatrième ordre est l’enveloppe 
d’une série oo 1 d’indice deux de quadriques ((*) **). 
(*) Cela résulte du fait qu’un point double d’une surface algébrique est sans 
influence sur les adjointes, et que d’autre part, une surface du quatrième ordre 
générale est régulière et a une courbe canonique d’ordre zéro. 
(**) Mémoire sur les surfaces algébriques doubles ayant un nombre fini de points de 
diratmtion. (Annules de la Faculté des sciences de Toulouse, 1914, 3 e sér., 
t. V, pp. 289-311) (Voir p. 314.) 
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1920. SCIENCES. 
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