L. Godeaux. — Sur une surface du quatrième ordre 
Nous allons montrer que les points de chacun des groupes 
(P 1 ), (P 2 ) sont associés et ensuite que d> peut être considérée de 
deux manières comme l’enveloppe d'une série oo 1 d’indice deux 
de quadriques. 
2. — Auparavant, nous établirons que les douze points 
doubles de <X> sont situés sur une quadrique (*). 
Considérons le cône formé par les droites issues de P 12 et 
touchant d> en un autre point. 11 est du sixième ordre et passe 
doublement par les onze points doubles restants de d>. Mais les 
points P 42 , P 13 , P^g, P 14 , P^ 4 sont situés dans un plan x ± = 0 
passant par P 12 ; donc ce plan fait partie du cône en question et 
touche par suite <ï> suivant une‘conique y t . De même, les plans 
x 2 = 0, x 3 =*0, x 4 -= 0 touchent <b suivant des coniques res¬ 
pectivement y 2 , y 3 , y 4 . Deux coniques y if y k ont en commun les 
deux points P tk , P- /r Par y 4 , y 2 passent donc 00 1 quadriques. 
Considérons celle de ces quadriques qui passe par P 34 . Elle 
rencontre y 3 en cinq points, P 23 , P 23 , P J4 , P M , P 34 ; donc elle 
contient cette conique. De même, elle contient y 4 et par suite : 
Les douze points doubles de sont sur une quadrique 
(Rohn). 
3. — Soit 
f(x 1 , x it x 3 , x 4 ) = 0 
l’équation de cette quadrique. Remarquons qu’elle possède 
nécessairement des termes en x\, x\, x\ t x\. 
Les points du groupe (P 4 ) sont sur les quadriques linéaire¬ 
ment indépendantes 
x ± x 4 = 0, x 2 x 3 — 0, f= 0, 
(*) Ce théorème est dû à M. Rohn, qui a étudié la surface O d ms le mémoire : 
Die Flàchen mener Ordnüng hinsichtlich ih^er krioîenpunkte ünd ihrer Gestaltung. 
(Preisschrif r en von der Fürst. Jabeonowski’schen Gesellschaft zü Leipzig, 
1886 .) 
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