L. Godeaux. — Sur une surface du quatrième ordre 
L’involution d’ordre quatre, dont <ï> est l’image, est engendrée 
par les transformations birationnelles 
(T,) 
x[ _ 
x' 2 _ 
X 3 
x\ _ 
X5 
xé 
Xi 
x 2 
X 3 
x 4 
— X 5 
Xg 
(T 2 ) 
x[ 
x 2 
X3 
x'i 
X5 
xi 
-, 
Xi 
x 2 
X 3 
X 4 
X5 
— X 6 
(T, = TJ f ) 
x[ _ 
x' 2 
x 3 
x\ __ 
x's 
x'e 
Xi 
x 2 
x 3 
x 4 
— X b ~ 
x% 
Nous allons transformer birationnellement F en une surface 
F*, du quatrième ordre, située dans un S 3 . A cet effet, posons, 
p étant un facteur de proportionnalité, 
( pXi=yl px 2 = yl, px 3 — yî> px 4 = yl 
\ P^5 = tylVé + V a y $9 > P*5 = P-Ms + V«M 4- 
Cela revient à rapporter projectivement les hyperplans de 
l’espace S 5 (x 13 x 2 , x s , x A , & 5> x 6 ) contenant F aux quadriques 
d’un système linéaire 
(5) a^i+Ogÿi+ a 4 ^+a 5 (XM4+V"&ifo)+«6 (^Ms+V flM4)='0, 
d’un S 3 (ÿi, y 2 , y 3 , y 4 ). Remarquons que ce système linéaire de 
quadriques est dépourvu de points-base. 
Moyennant les formules (4), les équations (1), (2), (3) 
deviennent 
(F) [f(yî, yl yb ylj — aylylylyl = o, 
(2 ? ), (3') \Faym^4 = f(yl, yl yl yl- 
La première relation est vérifiée par la seconde. Les formules 
(4) transforment donc F en une surface F* d’ordre quatre, 
d’équation 
(6) 
Vay,ydhy 4 — f(yb yl, yb y\)= 0. 
