252 BULL. 
H. AMSTEIN 
SEP. 4 
la fonction qu’il s’agit d’étudier, est généralement appelée 
une surface de Riemann. 
Si dans la fonction proposée on fait 
Z — re ui , 
ce qui revient à déterminer les points du plan (Z) par leurs 
coordonnées polaires, et que l’on sépare les parties réelles 
des parties imaginaires, on obtient 
£ = 2r cos co — r 2 cos 2 co 
rj = 2r sin w — r 2 sin 2 co. 
Ces équations représentent soit un système d‘épicycloïdes, 
savoir des limaçons de Pascal, soit un système de paraboles, 
suivant qu’on y considère r ou co comme constant. Dans le 
plan (Z) les courbes correspondantes sont r — const. et 
co — const., c’est-à-dire un système de cercles concentriques 
et le faisceau de leurs rayons communs. Les rayons rencon¬ 
trent toutes les circonférences sous des angles droits ; par 
conséquent, comme il y a similitude dans les parties infini¬ 
ment petites entre les plans (f) et (Z), les paraboles sont les 
trajectoires orthogonales des épicycloïdes et réciproquement. 
Çes épicycloïdes sont engendrées par un cercle de rayon r 
qui roule sans glisser sur un cercle fixe de même rayon. Le 
point qui décrit une des courbes se trouve à la distance r 2 
du centre du cercle mobile. L’épicycloïde particulière qu’on 
obtient en faisant r~ 1 est parfois appelée la cardioïde. Elle 
est engendrée par un point de la circonférence d’un cercle 
de rayon 1 qui roule sur un cercle fixe de même rayon. Ses 
équations sont 
£ ~: 2 cos co — cos 2 co 
rj — 2 sin co — sin 2 co 
Le point £ = 1, rj — 0 de cette courbe est un point de re¬ 
broussement de la première espèce. Les courbes correspon- 
