15 SEP. EXEMPLES DE REPRÉSENTATION CONFORME BULL. 263 
cycloïdes raccourcies (r^l) sont situés sur les droites 
ry =:0, ^ = zbTT, . . . rj — dznn; les points de rebroussement 
de la première espèce que possède la cycloïde ordinaire (r= 1 ) 
se trouvent sur l’axe des H aux distances 0, ±27r, ... d=2n/r 
de l’origine. Les cycloïdes allongées (r<< 1) ne présentent pas 
de points multiples. Conformément à une propriété connue 
du logarithme, chaque courbe du système (2) se compose 
d’une infinité de branches identiques qui s’obtiennent en dé¬ 
plaçant l’une d’elles d’un multiple de 2zr dans la direction 
de l’axe des H. Aux cycloïdes du plan (£) correspondent les 
cercles concentriques r= const. dans le plan (Z). Or, lorsque 
le point f a parcouru une branche, par exemple, de la cy¬ 
cloïde commune, le point Z aura fait un tour complet sur 
la circonférence r=l. A chaque branche de cycloïde que 
décrit le point ? répond ainsi un tour complet du point Z 
sur la circonférence du cercle des unités. Il s’ensuit qu’un 
seul point de la circonférence r~ 1 est l’image de toute une 
infinité de points homologues de la cycloïde. 
Pour établir la correspondance point par point entre ces 
deux courbes, on peut se figurer que le plan (Z) se compose 
d’une infinité de nappes superposées, et si on relie encore 
deux nappes consécutives par une ligne de passage appli¬ 
quée, par exemple, le long de l’axe réel positif, on pourra 
aussi substituer à la circonférence considérée une hélice à 
pas infiniment petit. Alors à chaque point de l’hélice ne cor¬ 
respond qu’un seul point de la cycloïde. Il est inutile d’ajouter 
que ce qui vient d’être dit à l’égard du cercle des unités et 
de la cycloïde commune s’applique également à tout autre 
cercle du système r = const. et à la cycloïde correspon¬ 
dante. 
Par suite de la disposition adoptée, £ peut être considéré 
comme une fonction uniforme de Z, et il s’agit maintenant 
inversement de transformer Z en une fonction uniforme de 
