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H. AMSTEIN 
SEP. 16 
En d’autres termes, comme à un point double d’une des cy- 
cloïdes raccourcies correspondent deux points distincts du 
plan (Z), il faut trouver moyen de séparer les deux points 
qui constituent ce point double. A cet effet on peut admettre 
que le plan (f) se compose aussi d’une infinité de nappes 
reliées entre elles par des lignes de passage et correspondant 
toutes à une seule nappe du plan (Z). Evidemment les lignes de 
passage devront être appliquées le long des droites?? = zhnn. 
Afin de reconnaître d’une manière plus précise la connexion 
qui existe entre les différentes nappes de cette surface de 
Riemann, il est utile de voir quelles sont les courbes qui 
dans le plan (Z) correspondent aux droites rj zz ± un du 
plan (£)• 
D’après la seconde des équations (2) on a 
rj ~ zk. un 
(où n désigne tout nombre entier et positif, le zéro y com¬ 
pris), lorsque 
. ~ co =F un 
1° w — dz un , 2° r = —:-. 
sm m 
Or, comme l’équation r = ? quelle que soit d’ail¬ 
leurs la valeur qu’on veut donner au nombre entier n , ne 
représente qu’une seule et même courbe, savoir la qnadra- 
trice de Dinostrate , il est clair qu’à chacune des droites 
rj — zh un ne correspond pas seulement la moitié de l’axe 
réel, donnée par w — zt un , mais encore toute l’infinité des 
branches de cette quadratrice. 
Lorsque le point Z décrit une circonférence d’un rayon 
r >■ 1 par exemple dans la première des nappes qui lui sont 
assignées, le point £ parcourra une branche d’épicycloïde 
raccourcie qui entrera dans d’autant plus de nappes du 
plan (f) que r sera plus grand. Chaque rencontre de la cir- 
