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échappent par le vague à toute appréciation mathéma¬ 
tique. » 
Nous avons essayé deux fois déjà de faire disparaître 
ces imperfections du théorème de Poisson, sans y réussir 
complètement. 
Dans un article publié en 1895 dans les Bulletins de 
l'Académie, 5 e série, tome XXV, pages 11-13, nous avons 
pu indiquer avec précision quel est l’intervalle où se 
trouve renfermé, presque certainement, le nombre de 
répétitions d’un événement de probabilité variable, 
soumis avec son contraire à un très grand nombre 
d’épreuves. 
Dans un autre, qui a paru en 1904 dans les Annales de 
la Société scientifique de Bruxelles, tome XXV1ÏI, première 
partie, pages 72-77, nous avons donné une expression 
rigoureuse de la probabilité que le nombre dont il s’agit 
est compris dans l’intervalle en question. 
Une remarque nouvelle, très simple, nous permet 
aujourd’hui de compléter ces résultats et de déduire la loi 
des grands nombres de toute démonstration rigoureuse du 
théorème de Bernoulli et pour un même nombre d'épreuves. 
Soit © (pi, p) la probabilité que le nombre de répétitions 
d’un événement de probabilité constante p = 1 — q sou¬ 
mis à p épreuves répétées se trouve en dehors de l’inter¬ 
valle (pp — ul, pppl), l étant inférieur h p et q. 
On sait que cp(p, p) a pour limite zéro quand p croît 
indéfiniment ( Théorème de Bernoulli). 
Si p varie en croissant de p x = 1 — q x à p 2 = 1 — (fë, 
la probabilité P x que le nombre de répétitions de l’évé¬ 
nement considéré sur p. épreuves est compris entre 0 et 
u Pi — pl[ sera inférieure à <p(p, p x ) ; la probabilité P 2 que 
ce nombre sera compris entre pp 2 pf 2 et p sera infé- 
