( 555 ) 
une construction élégante, peu connue, du point M : 
Soient les intersections des côtés homologues 
des deux triangles P1P2P3, Q1Q2Q3, et soient T l5 T 2 , T 5 
les intersections des côtés homologues des triangles anti¬ 
complémentaires (*) de P 1 P 2 P 3? Q1Q2Q3; les droites 
SjTi, S 2 T 2 , S 3 T 3 se coupent au point M. 
3 . Théorème. — 11 existe un point M qui a les mêmes 
coordonnées barycentriques dans tous les triangles podaires 
des points d’une droite m. 
En effet, soient PiP^Pô? Q1Q2Q3 deux quelconques 
de ces triangles ; la figure auxiliaire OL^L^ est d’es¬ 
pèce constante. 
Soient 84, 8 2 ,8 3 les angles formés par A 2 A 3 , A 3 A 4 , A t A 2 
avec la direction positive de m ; les segments P1Q1, P 2 Q 2 , 
P3Q3 étant proportionnels à cos 8 1? cos c 2 , cos 8 3 , nous 
prendrons 
l x — cos^ cos £3 sin A 1? 4 = cos<^ cos £3 sin A 2 , 
/ 3 = cos «?, cos sin A 3 . 
Le point M peut être appelé orthopôle (Lotpunkt) de la 
droite m; celle-ci est alors une orthopolaire de M (**). 
La droite m coupe la circonférence A^A 2 A 3 en deux 
points M 1? M 2 ; les droites de Simson de ces points se 
coupent en M. 
(*) L’anticomplémentaire d’un triangle est le triangle circonscrit 
homothétique au premier. 
(**) Un point M admet trois orthopolaires qui forment un triangle 
inscrit au cercle AjAaAjs. 
