( §57 ) 
5. Lorsque P parcourt la droite m (supposée quel¬ 
conque), les points P.., P 2 , P 3 engendrent trois ponctuelles 
semblables; par suite, les côtés du triangle P 4 P 2 P 3 enve¬ 
loppent trois paraboles tc 4 , tu 2 , tt 3 , qui touchent, chacune, 
deux côtés du triangle A 4 A 2 A 3 . Soient C 4 , C 2 , C 3 les 
points de rencontre de m avec A 2 A 3 , A 3 A 4 , A 4 A 2 , et 
C l C 12 C 43 , C 24 C 2 C 23 , C 3l C 32 C 3 leurs triangles podaires. 
La parabole tu 4 touche les hauteurs C 2 C 23 , C 3 C 32 du 
triangle A 4 C 2 C 3 ; par suite, le foyer de tt 4 est l’intersec¬ 
tion B 4 des circonférences circonscrites aux deux trian¬ 
gles A 4 C 2 C 23 , A 4 C 3 C 32 formés par trois tangentes, et 
la droite B 4 o 2 B 43 est la tangente au sommet. 
Les rayons OA 4 , OA 2 , OA 3 du cercle A 4 A 2 A 3 rencon¬ 
trent m en trois points 0 4 , 0 2 , 0 3 ; soient 0 44 0 42 0 43 , 
0 24 0 22 0 25 , 0 31 0 32 0 33 les triangles podaires de ces 
points. La droite 0 12 0 13 est tangente à tc 4 , et comme elle 
est parallèle à A 2 A 3 et, par suite, perpendiculaire à B 4 B 41 , 
elle rencontre B 4 B 41 en un point D 4 de la tangente au 
sommet B 12 B 43 . 
Cela posé, les segments des tangentes à tu 4 compris 
entre les tangentes fixes A 4 A 3 , A 4 A 2 sont divisés par la 
tangente 0 12 0 13 dans un même rapport; si donc E 4 
désigne le point de rencontre des droites P 2 Q 2 , 0 12 0 43 , 
on a 
0 12 D| / 3 
E1P3 C 
On en conclut que la droite P 4 E 4 passe par M. 
D’après cela, si l'on désigne par E 4 , E 2 , E 3 les points de 
rencontre des droites 0 12 0 13 , 0 23 0 21 , 0 31 0 32 respective¬ 
ment avec les côtés P 2 P 3 , P 3 P 4 , P-iP 2 du triangle podaire 
