( S 59 ) 
Nous aurons ainsi 
? 
a v a^a~ cos â L cos c? 2 cos $ 3 
4R 2 E 2 a t cos $2 cos 4 
E/sJa, COSc^i , 
ou, en désignant la dernière fraction par k, 
( 4 ) ç» = — cos^ = — k1ip\ . B 2 B 3 . 
Soient maintenant (x i9 (a? 2 , y 2 ), (& 3 , y 3 ), (a?, 0 ) les 
coordonnées des points A l9 A 2 , A 3 , P, l’axe des x étant 
la droite m et l’axe de y la perpendiculaire en un point 
quelconque w de m. Il vient 
£/>?.. B*B 3 = E[(ac,-x) 2 - 4 -î/î] (x s — ar 2 ) 
= 2 (.r 2 -h ?y|ÿ (x 3 — x 2 ) — 2x2x 4 (.r 3 —x 2 ) -t- x 2 E (x 3 —x 2 ) 
= 2(x?-4-t / 2 )(x 3 -irJ 
Ce résultat étant indépendant de x , le théorème est 
démontré. 
On peut exprimer <p en fonction des distances A 1 B 1 =X 1 , 
A 2 B 2 = a 2 , A 3 B 3 = A- de m aux sommets du triangle 
de référence. D’abord cos o l , cos 3 2 , cos à 3 résultent des 
égalités 
A 2 — a 3 = a { sin <? t , A 5 —» A 2 — a 2 sin $ i9 a 4 —- A 2 = a 3 sin $ 3 ; 
ensuite, si l’on prend pour w le point B 1? on obtient 
Zpï . b 2 b 3 = âTb; . b 2 b 5 -h ÂTb 2 . b 3 b, Â® . b 2 b 3 
= A?. B 2 B 3 -f- (Ai -V B^ 2 ) . B 3 B 1 - 4 - (a 2 -h B^ 2 ). b 4 b 2 
= A 2 . b 2 b 3 + A 2 . B 3 B a -t- A 2 . b 4 b 2 — b 4 b 2 . b 2 b 5 . b 3 b 4 . 
