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3. Opération de Clebsch. — Nous appellerons ainsi 
l’opération qui consiste à passer d’un système complet (1) 
au système jacobien équivalent, le plus général. Cette 
opération est définie par les formules (*) suivantes : 
(3) A p / = jj P . Vp' V 
où les cp 4 ... f r sont des fonctions arbitraires de x x ... x n , 
telles que le déterminant des r* 2 expressions A p cp p , soit 
différent de zéro. Il est facile de montrer que le système 
Ci) V=° p — \ ... r 
ainsi obtenu est jacobien; pour cela, remarquons que si 
dans (3) nous remplaçons f par cp_ (t = 1 ... r), nous 
trouvons que D p (p T égale 1 si p et égale O si p est 
différent de t. Le système 0^=0 étant complet, on 
pourra poser 
[) p D p /-D p ,D p ^=2. r Pf'D/. 
1 
Remplaçons encore f par cp T ; d’où, les y£ p ' sont tous 
nuis; donc le système (2) est jacobien. 
4. Théorème. — La forme la plus générale des multi¬ 
plicateurs des systèmes jacobiens en x x ... x n équivalents au 
système complet (1) est 
MA fn—r ?l • • • ?r) 
3 (flC,. x n ) 
HA * • • fn-r), 
où f x ... f n __ r sont (n — r) invariants distincts et où ...% 
et d» sont des fonctions arbitraires . 
(*) Clebsch, Journal fiir r. und angew. Math., 1866, t. LXV, p. 257. 
