( 28i ) 
En opérant comme nous l’avons fait à la fin du n°4 de 
ce travail, on trouvera le multiplicateur P qui est inscrit 
dans l’énoncé du théorème. Mais en vertu du lemme 1 , 
P est aussi multiplicateur du système (1). c. q. f. d. 
Cas particuliers. — Si p = n —r, on retrouve le 
théorème du n° 6 de ma note I. 
Si r = n — 2 et p = 1, on retrouve un théorème de 
Lie (*) ; la démonstration de ce géomètre ne se prête 
guère à la généralisation (voir p. 437 de son mémoire). 
17. Théorème de Lie. — Si N est un multiplicateur 
généralisé de (1) et si ce système admet la transformation 
infinitésimale T f, on connaîtra un invariant I de Lie 
appartenant au système ( 1 ). — Considérons les deux cas 
particuliers suivants : 
1° Uinvariant I est identiquement nul et r==n — 2 : 
alors le système 
| A p f'= 0 p _ 1 ... (ti — 2) 
) T/' — 0 
admet le multiplicateur généralisé N, et son invariant 
s’obtient par une quadrature ; puis, une nouvelle quadrature 
fournira le second invariant du système complet (1) ; 
2° Vinvariant 1 se réduit à une constante numérique 
(*) S. Lie, Classification und Intégration von gewôhnliche Diffe- 
rentialgleichungen zwischen xv, die eine Grappe von Transforma - 
tionen gestatten IV. (Archiv for Math, og Naturv. Niende Bind, 
1884, Kristiania.) 
