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différente de zéro et r = n — 2 : alors, on trouvera l’inva¬ 
riant <J> du st/sléme complet 
( A;/= 0 P =*1 • • • (n — 2) 
} Tf = 0 
par Vintégration (*) d'une équation différentielle ordinaire 
du premier ordre ; cet invariant <ï> nous fournira le multi¬ 
plicateur généralisé P (voir n° 16) du système (1); enfin , 
le second invariant de (1) est 
Démonstration. — Le théorème de Lie a été étendu 
aux systèmes complets au n° 7 de ma note I et au n° V de 
ma note IL 
Passons aux deux cas particuliers. 
1° Si I == 0, nous savons par le lemme II que N est 
un multiplicateur généralisé de 
J V'-o 
( Tf =0 
Si r = n — .2, on n’aura qu’à se rapporter au lemme 
du n^ 5 de ma note I pour en déduire le 1° du théorème 
énoncé ; 
2° Si I se réduit à une constante numérique différente 
de zéro et si l’on a trouvé l’invariant <ï> du système 
complet 
J Apf = 0 
) Tf =0 
(*) Lie a démontré (p. 438 de son mémoire cité à la fin du n° 16) 
que cette intégration ne s’effectue pas, en général, au moyen d’une 
quadrature. 
