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Une droite n’a qu’un seul orthopôle, h l’exception de 
la droite de l’infini dont chaque point peut être regardé 
comme son orthopôle. Mais un point à distance finie a 
trois orthopolaires; nous allons d’abord indiquer des cas 
particuliers de cette proposition. 
Chacun des côtés du triangle A 1 A 2 A 3 a pour orthopôle 
le point H. Les masses l i9 U 2 , ^ dont il faut affecter les 
sommets du triangle podaire d’un point pris sur a i9 a 2 ou 
a 5 pour que H en soit le centre de gravité, sont respec¬ 
tivement 
a% cil o 5 
1 ’ cos A 3 cosA 2 ’ cos A s * ’ cos A,’ 
o 2 
cos A 2 cos A,’ 3 * 
Les cercles podaires correspondants ont respective¬ 
ment pour corde commune A jH A , A 2 H 2 , A 3 H 3 ; par suite 
ils ont même puissance par rapport à H. 
L’orthopôle d’une parallèle à a v ou d’une droite pas¬ 
sant par X i est situé sur la hauteur A 1 H 1 . La réciproque 
de cette proposition donne ce théorème élémentaire : 
Par un point quelconque D de AjE^ on mène une perpen¬ 
diculaire à a 2 qui rencontre le cercle (A 4 A 2 ) aux points 
E, E', et une perpendiculaire à a 3 qui rencontre le cercle 
(A 1 A 3 ) en F, FL Les droites EF', E'F passent par A 4 et 
coupent le cercle A t A 2 A 3 en deux points J, J' situés sur une 
parallèle à A 2 A 3 . Les bissectrices intérieure et extérieure de 
l’angle A 2 AjA 3 rencontrent le cercle (A a A 2 ) en X, Y et le 
cercle (A 1 A 3 ) en X', Y'; les tangentes en X et X' se ren¬ 
contrent en un point X" de A^ï^ et les tangentes en Y et 
Y' en un point Y" de AiHj ; la distance \ n Y" est égale au 
diamètre du cercle 
