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D est l’orthopôle de chacune des droites A 4 J, A 4 J', JJ'; 
les orthopolaires de X" sont une tangente au cercle 
A*A 2 A 3 parallèle à A 2 A 3 , et la droite joignant A 4 au point 
de contact de cette tangente, à compter deux fois. Si D 
est situé sur A 1 H 1 en dehors du segment X"Y", ses 
orthopolaires passant par A l sont imaginaires conjuguées. 
Les orthopolaires de A! sont les perpendiculaires 
élevées en A i sur a 2 et a 3 , et la symétrique de a i par 
rapport au centre du cercle A 1 A 2 A 3 . 
9. Lorsque se meut sur une perpendiculaire n i à 
a 1? le point M appartient aussi à n i et la droite m enve¬ 
loppe une parabole qui a pour foyer A 4 et pour tan¬ 
gente au sommet la droite %. De même, lorsque B 2 décrit 
une perpendiculaire n 2 à a 2 ou une perpendiculaire n z à 
a 3 , la droite m enveloppe une parabole u 2 de foyer A 2 ou 
une parabole p, 3 de foyer A 3 . Par conséquent, si n iy n 2 , n 3 
sont les perpendiculaires abaissées d’un même point M 
sur a l9 a 2 , a 3 , on pourra prendre pour orthopolaire de M 
chacune des trois tangentes communes aux paraboles 
N, H’ p- 3 * Représentons ces tangentes par m', m", m'" ; 
deux d’entre elles peuvent être imaginaires conjuguées. 
Elles forment un triangle inscrit au cercle 
AjA 2 A 3 , car le cercle circonscrit à ce triangle passe par 
les foyers A 4 , A 2 , A 3 des paraboles jjl 3 inscrites à 
ce triangle. Les directrices de ces paraboles passent 
évidemment par le symétrique H' de H par rapport à M ; 
H' est donc l’orthocentre du triangle . 
Le point M est le point d’intersection des droites de 
Simson des points M', M", M'" par rapport au triangle 
A 1 A 2 A 3 . En d’autres termes, le triangle orthopolaire de M 
a pour sommets les foyers des trois paraboles inscrites au 
