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M. Lebesgue étend, sans nouvelle démonstration, cette 
formule aux intégrales de fonctions non bornées, pourvu 
que celles-ci existent. 
M. Fubini (*) a montré que l’introduction des inté¬ 
grales supérieures et inférieures est inutile et que la 
réduction peut toujours se faire à l’aide des intégrales 
ordinaires. De plus, il a donné la démonstration de la 
formule pour le cas où f est sommable dans F sans être 
bornée. 
Si on laisse de côté cette dernière démonstration, on 
peut observer que le théorème de M. Fubini peut se 
déduire, sans autre examen, de la formule de i\I. Le¬ 
besgue. 
On conclut, en effet, de cette formule 
JdxJ^fdy — jdxJ^\dy ^ÿdx jfdy —Jdx jfdy = 0 . 
Donc la première différence est nulle aussi et j fdy est 
mesurable. De même, l’intégrale inférieure de fdy est 
mesurable. On tire donc maintenant de la formule de 
M. Lebesgue 
f dx pdy —J dx f fdy =fdr J — f)d y j = 0 . 
Donc la fonction non négative J—f fdy, ayant son inté¬ 
grale nulle, est nulle elle-même, sauf dans un ensemble 
de valeurs de x de mesure nulle. Si l’on néglige cet 
(*) Sagli intégrait multipli. (Rendiconti della r. Acc. dei Lincei, 
î. XVI, série V, 1907, pp. 608-614.) 
