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ensemble de mesure nulle, f e st mesurable comme fonc¬ 
tion de ?/, et Ton peut écrire 
La formule de M. Lebesgue prend donc la forme défi¬ 
nitive 
r 
Mais il faut négliger au second membre l’ensemble (de 
mesure nulle) des valeurs de x pour lesquelles l’intégrale 
intérieure n’existerait pas. C’est Je résultat indiqué par 
M. Fubini. 
A cause de son importance, nous allons démontrer à 
nouveau cette formule de réduction par la voie qui nous 
paraît la plus naturelle. Cette démonstration détaillée, où 
nous ne ferons appel à aucun théorème étranger, aura 
peut-être l’avantage de préciser sur certains points les 
conditions de validité de la formule. 
Nous appliquerons cette formule de réduction aux inté¬ 
grales curvilignes et à la définition des fonctions d’une 
variable complexe, ce qui nous permettra de donner 
toute l’extension qu’ils comportent aux théorèmes qui 
ont été énoncés par M. Montel en 1907 (*). Ces 
résultats sont aussi à rapprocher de ceux obtenus par 
M. Lichtenstein dans un travail récent (**). 
(*) Sur les suites infinies de fonctions. (Annales de l’École nor¬ 
male supérieure, 24 (3). 1907, pp. 233-334.) 
(**) Ueber einige Integrabüitdtsbedingungen zweigliedriger Differen- 
tialausdrïicke mit einer Anwendung aufden Cauchy'schen Integralsatz. 
(Sitzungsbeluchten der Berliner mathematischen Gesellschaft, 
IX. Jahrgang, 4. Stück, 22. Juni 1910.) 
