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Nous terminerons par un théorème dont la démonstra¬ 
tion combine à la fois les méthodes de MM. Montel et 
Goursat. 
2. — Extension de la définition de l’intégrale. 
g. iEs.teaasi©as de la définition. — 11 sera très com¬ 
mode, dans la question qui va nous occuper, d’introduire 
la généralisation suivante de l’intégrale définie. 
On sait que quand une fonction f(x) est sommable dans 
un ensemble E, on peut, sans changer la valeur de l’inté¬ 
grale 
E 
changer arbitrairement la valeur de f(x) dans un ensemble 
de mesure nulle E' contenu dans E. ïl arrive souvent que 
f(x) est bien défini dans un ensemble E, sauf aux points 
d’un ensemble E' de mesure nulle où la fonction devient 
infinie, indéterminée, ou encore cesse d’avoir une défini¬ 
tion. Dans ce cas, si f(x) est sommable dans l’ensemble 
E —E', nous poserons, par définition, 
Par suite de la propriété que nous venons de rappeler 
et grâce à cette extension, il sera donc toujours permis de 
négliger dans l’intégration un ensemble de mesure nulle, 
de quelque manière que s’y comporte la fonction. 
Nous allons d’abord montrer que l’on peut étendre à 
l’intégrale ainsi généralisée les propriétés essentielles de 
l’intégrale ordinaire. 
