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G. Théorème. — La fonction f(x,y), mesurable super¬ 
ficiellement, est une fonction mesurable (i linéairement) de la 
seule variable y, pour chaque valeur de x entre 0 et i, sauf 
pour celles qui appartiennent à un ensemble de mesure nulle . 
A bstraction faite des points de cet ensemble, l’intégrale 
0 
est une fonction mesurable de x, et l’on a , avec la générali¬ 
sation précédente de l’intégrale simple , 
0 
0 
R 
En d'autres termes , il suffit, pour calculer le second 
membre , d’annuler /iciy «wæ points x om intégrale 
n existerait pas. 
Nous démontrerons ce théorème : 1° pour une fonction 
qui ne prend dans le rectangle R que les deux valeurs 0 
et 1 ; 2° pour une fonction qui ne prend qu’un nombre 
limité de valeurs; 3° pour une fonction quelconque. 
9. Premier cas. — Soit d’abord une fonction Q(x, y) 
qui ne prend que les deux valeurs 0 et 1 dans le rec¬ 
tangle R, à savoir la valeur 1 dans un ensemble mesu¬ 
rable E et la valeur 0 dans le complémentaire CE 
(relativement à R). 
Nous remarquons d’abord qu’on a, par définition de 
l’intégrale, 
0(x, y)dxdy = mE, 
R 
mE étant la mesure de E. 
