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De là les conclusions suivantes : 
Premièrement, la fonction de#, essentiellement posi¬ 
tive, /(0'-0")'ty, ayant une intégrale nulle, est nulle 
elle-même, sauf dans un ensemble X de valeurs de x de 
mesure nulle. 
Secondement, pour toute valeur de x hors de cet 
ensemble X, la fonction de y , essentiellement positive, 
(0'— 0"), ayant une intégrale nulle, s’annule elle-même, 
sauf pour un ensemble de mesure nulle; donc 0'=0'' 
et, par suite (9 étant intermédiaire), 0' = 0" = 8, sauf 
pour cet ensemble de mesure nulle ; d’où il suit que, 
0' ou 0" étant mesurables, 8 l’est aussi et a même 
mesure. On a donc, sauf aux points x de l’ensemble X 
de mesure nulle, 
O 
0 
Grâce à notre extension de la définition de l’intégrale, 
on peut, en intégrant par rapport à x , négliger les 
valeurs de x contenues dans X, et il vient ainsi 
OO 0 0 
Donc, en se reportant à la remarque faite au début de 
cette démonstration, 
R 
0 
0 
Dans ce premier cas, la proposition est établie. 
