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8. Deuxième cas. — Considérons maintenant une fonc¬ 
tion f(x,y) qui ne prend dans R qu’un nombre limité de 
valeurs différentes, à savoir les valeurs res¬ 
pectivement dans les ensembles mesurables e 1 , e %,... e k ,.. e n . 
Soit, en général, Q k une fonction égale à 1 dans e k et à 0 
dans son complémentaire. On a, par ce qui précède, 
me k =J dx j 6 k dy. {k—i, 2 , . • • n) 
O O 
Multiplions cette relation par l k et sommons pour 
1, 2 ,... n; il vient, en utilisant les propriétés généra¬ 
lisées aux numéros 2 et o, 
=J dxj d y- 
O O 
Mais le premier membre est, par définition, l’intégrale 
double de f(x,y) dans R; dans le second membre, on 
peut remplacer 9* par sa valeur f(æ, y); il vient ainsi, 
ce qui prouve notre théorème, 
JJ Fdxdy — J* dx J fdy. 
Au second membre, l’intégrale intérieure est déter¬ 
minée, sauf peut-être pour un ensemble de valeurs de x 
de mesure nulle, dont on fait donc abstraction. 
