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». Troisième cas. — Considérons enfin le cas général 
où f(x, y) est une fonction bornée et mesurable quel¬ 
conque. Donnons-nous une suite illimitée des quantités 
£ i> e 2, ... ... 
tendant vers zéro. 
On peut déterminer une fonction mesurable F n (x, y) 
qui ne prend qu’un nombre limité de valeurs et qui 
diffère de f de moins de e n . 11 suffit pour cela de se don¬ 
ner une échelle 
croissant par degrés inférieurs à e w et de prendre pour 
chaque valeur de l’indice i, la fonction F n (x, y) égale 
à dans l’ensemble E 
Dans ce cas, on a, par la démonstration précédente, 
R 
O 
O 
Faisons maintenant tendre n vers l’infini et cherchons 
les limites des deux membres de cette équation. La 
fonction F n tend uniformément vers f; on a donc, au 
premier membre, 
R 
R 
D’autre part, au second membre, l’intégrale 
O 
