Intégrale simple. — Soit f[x) une fonction, non néga¬ 
tive, mesurable et non bornée. Nous définissons une 
fonction f n (æ) en posant 
f(æ), si f(x)£n; 
n si f(x) ^ n . 
Si l’intégrale, croissante avec n, 
tend vers une limite finie pour n — oc , nous disons que 
f(x) est sommable et nous posons, par définition, 
Cette définition est absolument équivalente à celle de 
M. Lebesgue si f(x) est finie. Elle a l’avantage de s’ap¬ 
pliquer encore au cas où f(x) serait infinie, même dans 
un ensemble qui ne serait pas de mesure nulle. Dans ce 
dernier cas, la limite ci-dessus serait évidemment infinie 
et l’intégrale serait infinie aussi. 
Quand f(x) est finie ou bien n’est infinie que dans un 
ensemble de mesure nulle, on ne change pas la définition 
de l’intégrale en posant f n (x) = O (au lieu de n) quand 
f(x) est > n. On le vérifie immédiatement. Nous utilise¬ 
rons plus loin cette remarque. 
Intégrale dourle. — Nous admettons la même défini¬ 
tion pour l’intégrale double d’une fonction de deux 
variables qui n’est pas bornée. Soit f(x, y) une fonction 
