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mesurable (superficiellement), non négative et non bor¬ 
née, nous définissons f n (x, y) de la même manière que 
f n {x) l’a été ci-dessus, et nous posons encore, par défini¬ 
tion, 
Si cette limite est finie et déterminée, la fonction 
f(x, y) sera sommable dans R. Si cette limite était infinie, 
l’intégrale double serait infinie. 
On s’assure immédiatement que cette définition de 
l’intégrale concorde avec celle donnée par M. Lebesgue 
quand la fonction est sommable, mais elle conserve un 
sens sans faire cette supposition. 
fl&. Tliéorèsaie. — Si la fonction f(x, y) est non néga¬ 
tive et mesurable (superficiellement) dans un rectangle R 
limité aux abscisses a, b et aux ordonnées c, d, on a tou¬ 
jours , que f soit sommable ou non, 
b 
fdxdy — j dx f fdy = j dy f fdx , 
R 
c'est-à-dire que , si l'un des trois termes est fini, ils sont 
égaux tous trois; si Vun des trois termes est infini, ils le 
sont aussi tous les trois. 
On a d’abord, par la démonstration précédente, en 
intégrant dans R, 
0 ) 
